Question

1．已知函数f（x）=2cos²x+2$\sqrt{3}sinxcosx（x∈{R}）$．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若方程f（x）-t=1在$x∈[0，\frac{π}{2}]$内恒有两个不相等的实数解，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和辅助角公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；
（2）根据$x∈[0，\frac{π}{2}]$求解f（x）的图象范围，利用数形结合，可求实数t的取值范围．

解答 解：（1）函数f（x）=2cos²x+2$\sqrt{3}sinxcosx（x∈{R}）$．
化简可得：f（x）=1+cos2x+$\sqrt{3}$sin2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1．
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤$2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}+2kπ$上是单调增函数，
解得：$-\frac{π}{3}+kπ$≤x≤$\frac{π}{6}+kπ$，（k∈Z）．
故得函数f（x）的单调递增区间为
[$-\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{π}{6}+kπ$]，（k∈Z）．
（2）由（1）可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
当$x∈[0，\frac{π}{2}]$时，
则2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]．
方程f（x）-t=1在$x∈[0，\frac{π}{2}]$内恒有两个不相等的实数解，
即：2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1-t=1，
可得：sin（2x+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$t在$x∈[0，\frac{π}{2}]$内恒有两个不相等的实数解，
设2x+$\frac{π}{6}$=u
那么函数f（x）转化为g（u）．
等价于g（u）=sinu与函数y=$\frac{1}{2}$t有两个不同的交点．
∵g（u）=sinu的图象为：（如图）
由图象可得：sin$\frac{π}{6}$≤$\frac{1}{2}t$＜1，即$\frac{1}{2}$≤$\frac{1}{2}t$＜1，
解得：1≤t＜2．
故得实数t的取值范围是[1，2）．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．同时考查了函数之间的零点问题，属于中档题．