Question

已知锐角三角形的边长分别为1，3，a，则a的范围是（　　）

• A、（8，10）
• B、(

  8

  ，

  10

  )
• C、(

  8

  ，10)
• D、(

  10

  ，8)

Answer 1

分析：由已知中△ABC三边长分别为1、3、a，根据余弦定理的推论得到△ABC为锐角三角形时，由两边长1和3求出a的范围，但3与a边均有可能为最大边，故要分类讨论．

解答：解：∵△ABC三边长分别为1、3、a，
又∵△ABC为锐角三角形，
当3为最大边时3≥a，设3所对的角为α，
则根据余弦定理得：cosα=

a2+1-32

2a

＞0，
∵a＞0，∴a²-8＞0，解得3≥a＞2

2

；
当a为最大边时a＞3，设a所对的角为β，
则根据余弦定理得：cosβ=

1+9-a2

6

＞0，
∴10-a²＞0，解得：3＜a＜

10

，
综上，实数a的取值范围为 (2

2

，

10

)．
故选B．

点评：本题考查了三角形的形状判断，以及余弦定理的应用，利用了分类讨论的思想．解答本题的关键是利用余弦定理推论出最大边所对角的余弦值大于0，进而根据两边长1和2求出第三边a的取值范围．