Question

18．已知函数f（x）=|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则a+4b的取值范围是（　　）

• A． （4，+∞）
• B． [4，+∞）
• C． （5，+∞）
• D． [5，+∞）

Answer 1

分析 由绝对值的含义将函数化成分段函数的形式，可得a＜b且f（a）=f（b）时，必有ab=1成立．利用基本不等式，算出a+4b≥4，结合题意知等号不能成立，由此运用导数判断单调性，可得a+4b的取值范围．

解答 解：∵f（x）=|lgx|=$\left\{\begin{array}{l}{lgx，x≥1}\\{-lgx，0＜x＜1}\end{array}\right.$，
∴若a＜b，且f（a）=f（b）时，必定-lga=lgb，
可得ab=1，
∵a、b都是正数，0＜a＜1＜b，
∴a+4b=a+$\frac{4}{a}$≥2$\sqrt{a•\frac{4}{a}}$=4，
因为a=4b时等号成立，与0＜a＜b矛盾，所以等号不能成立．
∴a+4b＞4，
由a+$\frac{4}{a}$的导数为1-$\frac{4}{{a}^{2}}$＜0，可得在（0，1）递减，
即有a+$\frac{4}{a}$＞5，
故选：C．

点评 本题考查了对数的运算法则、分段函数和基本不等式，注意满足的条件：一正二定三等，同时考查函数的单调性的运用，属于中档题和易错题