Question

如图所示，某企业拟建造一个体积为V的圆柱型的容器（不计厚度，长度单位：米）．已知圆柱两个底面部分每平方米建造费用为a千元，侧面部分每平方米建造费用为b千元．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，设圆柱的底面半径为r，高为h（h≥2r），该容器的总建造费用为y千元．
（1）写出y关于r的函数表达式，并求出此函数的定义域；
（2）求该容器总建造费用最小时r的值．

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用,函数解析式的求解及常用方法,旋转体（圆柱、圆锥、圆台）

专题：应用题,不等式的解法及应用

分析：（1）利用体积确定h，r之间的关系，再求出容器的总建造费用；
（2）利用基本不等式，即可求该容器总建造费用最小时r的值．

解答： 解：（1）由题意，V=πr²h，∴h=

V

πr2

，
∵圆柱两个底面部分每平方米建造费用为a千元，侧面部分每平方米建造费用为b千元，
∴该容器的总建造费用y=a×2πr²+b×2πrh=2πar2+

2bV

r

（0＜r≤

3	V 2π

）
（2）y=2πar²+

2bV

r

≥3

3	2πar2• bV r • bV r

=3bv

2πa

，
当且仅当2πar²=

bV

r

，即r=

3	bV 2πa

时，该容器总建造费用最小．

点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查基本不等式的运用，确定函数解析式是关键．．