Question

13、已知定义在区间（0，+∞）的非负函数f（x）的导数为f'（x），其满足xf'（x）+f（x）＜0，则在0＜a＜b时，下列结论一定正确的是

（2）（3）

．
（1）af'（a）＜bf'（b）（2）af（a）＞bf（b）（3）bf（a）＞af（b）（4）bf'（a）＞af'（b）

Answer 1

分析：（2）抽象出函数g（x）=xf（x），根据题意可得g′（x）＜0故g（x）在在区间（0，+∞）是减函数．所以af（a）＞bf（b）．
（3）因为f（x）＞0，x＞0且xf'（x）+f（x）＜0，所以可得f′（x）＜0．所以f（x）是减函数．进而结合不等式的性质得到bf（a）＞af（b）．
（1）（4）我们只能判断f'（a）＜0，f'（b）＜0而并不能判断f'（a）与f'（b）的大小，所以af'（a）与bf'（b）、bf'（a）与af'（b）的大小不能判断．

解答：解：设g（x）=xf（x）所以g′（x）=xf'（x）+f（x）＜0，所以g（x）在在区间（0，+∞）是减函数．因为0＜a＜b所以af（a）＞bf（b）．故（2）正确．
因为f（x）是定义在区间（0，+∞）的非负函数，并且xf'（x）+f（x）＜0所以f′（x）＜0．所以f（x）是定义在区间（0，+∞）的减函数．因为0＜a＜b所以f（a）＞f（b），所以bf（a）＞af（b）．故（3）正确．
对于（1）（4）我们只知道0＜a＜b且f'（a）＜0，f'（b）＜0而并不能判断f'（a）与f'（b）的大小，所以af'（a）与bf'（b）、bf'（a）与af'（b）的大小不能判断．故（1）（4）不正确．
故答案为（2）（3）．

点评：解决此题的根据判断出xf（x）的导数即xf'（x）+f（x），由题知此导数小于0，结合函数与导数之间的关系可得函数xf（x）为单调递减函数．再结合函数f（x）是非负函数进一步可得f（x）是减函数，即可得到答案．