Question

已知F₁、F₂是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点F₁关于渐近线的对称点恰好落在以F₂为圆心，|OF₂|为半径的圆上，则该双曲线的离心率为（　　）

• A、

  2

• B、

  3

• C、2
• D、3

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：首先求出F₁到渐近线的距离，利用F₁关于渐近线的对称点恰落在以F₂为圆心，|OF₂|为半径的圆上，可得直角三角形，即可求出双曲线的离心率．

解答： 解：由题意，F₁（-c，0），F₂（c，0），
设一条渐近线方程为y=-

b

a

，则F₁到渐近线的距离为

bc

a2+b2

=b．
设F₁关于渐近线的对称点为M，F₁M与渐近线交于A，∴|MF₁|=2b，A为F₁M的中点，
又0是F₁F₂的中点，∴OA∥F₂M，∴∠F₁MF₂为直角，
∴△MF₁F₂为直角三角形，
∴由勾股定理得4c²=c²+4b²
∴3c²=4（c²-a²），∴c²=4a²，
∴c=2a，∴e=2．
故选：C．

点评：本题主要考查了双曲线的几何性质以及有关离心率和渐近线，考查勾股定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．