Question

如图所示，直立在地面上的两根钢管AB和CD，两根钢管相距1m，AB=10

3

m，CD=3

3

m，现用钢丝绳对这两根钢管进行加固，在AB上取一点E，以C为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的F处，形成一个直线型的加固．设BE=x（m），∠EFD=θ（rad），EF=l（m）．
（1）试将l（m）分别表示成x（m），θ（rad）的函数；
（2）选择其中一个函数模型求l（m）的最小值，并求相应的x（或θ）的值．

Answer 1

分析：（1）根据三角形相似，求出DF，在△FBE中，根据勾股定理列出l与x的关系式；过C作CM⊥AB于点M，在△CFD中和△CME中，分别用θ表示出CF和CE，即可列出l与θ的关系式；
（2）选择l与θ的关系式或l与x的关系式进行求解，利用导数求出函数的最值，即可求得答案．

解答：解：（1）①根据题意，可得△CFD～△AFB，则有

DF

DF+1

=

3 3

x

，即DF=

3 3

x-3 3

，
∴l(x)=

(1+ 3 3 x-3 3 )2+x2

=

( x x-3 3 )2+x2

，x∈(3

3

，10

3

]；
②过C作CM⊥AB于点M，在△CFD中，CF=

3 3

sinθ

，在△CME中，CE=

1

cosθ

，
∴l(θ)=

3 3

sinθ

+

1

cosθ

，θ∈（0，α]，其中α是锐角且tanα=7

3

．
（2）①若选l是θ的函数，
∵l(θ)=

3 3

sinθ

+

1

cosθ

，θ∈（0，α]，
∴l′(θ)=

-3 3 cosθ

sin2θ

+

sinθ

cos2θ

=

sin3θ-3 3 cos3θ

sin2θcos2θ

，
令l′（θ）=0，得θ=

π

3

，
∴当θ∈(0，

π

3

)⇒l′(θ)＜0⇒l(θ)在(0，

π

3

)递减，当θ∈(

π

3

，α]⇒l′(θ)＞0⇒l(θ)在(

π

3

，α]递增，
∴当且仅当θ=

π

3

时，l(θ)min=l(

π

3

)=8(m)；
②若选l是x的函数，
∵l(x)=

(1+ 3 3 x-3 3 )2+x2

=

( x x-3 3 )2+x2

，x∈(3

3

，10

3

]，
∴令μ(x)=(

x

x-3 3

)2+x2，x∈(3

3

，10

3

]，
∴μ′(x)=2x

(x-3 3 )3-3 3

(x-3 3 )3

，
令μ′（x）=0，得x=4

3

或x=0（舍去），
∴当x∈(3

3

，4

3

)⇒μ′(x)＜0⇒μ(x)在(3

3

，4

3

)递减，当x∈(4

3

，10

3

]⇒μ′(x)＞0⇒μ(x)在(4

3

，10

3

]递增，
∴当且仅当x=4

3

时，l（x）_min=8（m）．

点评：本题考查了函数在生产生活中应用，关键是寻找到合适的变量建立数学模型，利用数学的相关知识求解函数的最值．本题主要是应用函数的导数求解函数的最值，导数是求函数最值的通法．属于中档题．