Question

9．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为$\frac{π}{2}$，且图象上一个最低点为M（$\frac{2π}{3}$，-2）．
（1）求函数f（x）的解析式和单调递减区间；
（2）当x∈[$\frac{π}{12}，\frac{π}{2}$]时，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由条件利用正弦函数的图象特征，正弦函数的周期性、单调性，求得函数f（x）的解析式和单调递减区间；
（2）由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）的值域．

解答 解（1）由最低点为M（$\frac{2π}{3}$，-2），可得A=2．
由x轴上相邻的两个交点之间的距离为$\frac{π}{2}$，可得$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{2}$，即T=$\frac{2π}{ω}$=π，ω=2．
由点M（$\frac{2π}{3}$，-2）在图象上，可得2sin（2•$\frac{2π}{3}$+φ）=-2，即sin（$\frac{4π}{3}$+φ）=-1，
故 $\frac{4π}{3}$+φ=2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈Z，结合0＜φ＜$\frac{π}{2}$，可得φ=$\frac{π}{6}$，函数f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
令2kπ+$\frac{3π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，得 kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，
故函数的单调递减区间为[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z．
（2）∵x∈[$\frac{π}{12}，\frac{π}{2}$]，∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]，故当 2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，f（x）取得最大值为2；
故当 2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$时，f（x）取得最小值为-1．
故f（x）的值域为[-1，2]．

点评 本题主要考查正弦函数的图象特征，正弦函数的周期性、单调性、定义域和值域，属于中档题．