Question

3．已知函数f（x）的定义域是R，对任意实数x，y，均有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，f（x）＞0．
1）证明：f（x）在R上是增函数；
2）判断f（x）的奇偶性，并证明；
3）若f（-1）=-2．求个等式f（a²+a-4）＜4的解集．

Answer 1

分析 （1）利用函数单调性的定义即可证明函数f（x）在R上是减函数；
（2）利用赋值法即可求f（0）的值，结合函数奇偶性的定义即可判断f（x）的奇偶性；
（3）根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化即可解不等式．

解答 解：（1）设x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，
由已知f（x₂-x₁）＞0，
则f（x₂-x₁）=f[x₂-（-x₁）]=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁）＞0，
即f（x₂）＞f（x₁），
则函数f（x）在R上是增函数；
（2）令x=0，y=0，则f（0）=f（0）+f（0），
即f（0）=0，
令y=-x，
则f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）=0，
即f（-x）=-f（x），则f（x）是奇函数；
（3）∵f（-1）=-2．
∴f（1）=2
f（2）=f（1）+f（1）=2f（1）=4．
即不等式f（a²+a-4）＜4的等价为f（a²+a-4）＜f（2）．
∵函数f（x）在R上是增函数；
∴a²+a-4＜2．
即a²+a-6＜0．
解得-3＜a＜2，
即不等式的解集为（-3，2）．

点评 本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法是解集抽象函数的基本方法，结合函数单调性的定义是判断函数单调性的关键．