Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=1，，D、M、N分别是AB、AA₁、BC₁的中点．
（1）求证：MN∥平面ABC；
（2）求证：CD⊥平面AA₁B₁B；
（3）试在BB₁上求一点F，使A₁B⊥平面C₁DF，证明你的结论．

Answer 1

证明：（1）取BC中点G，连NG、AG，
∵N是BC₁的中点，G是BC的中点，
∴NG∥CC₁，且NG=；又M是AA₁的中点，三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
∴MA∥CC₁，且MA=．
∴MA∥NG且MA=NG，
∴MAGN是平行四边形，
∴MN∥AG．…（3分）
又AG?平面ABC，MN?平面ABC，∴MN∥平面ABC． …（5分）
（2）∵AC=BC=1，D是的中点，∴CD⊥AB．又ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
∴平面AA₁B₁B⊥平面ABC，
∵CD?平面ABC，平面AA₁B₁B∩平面ABC=AB，
∴CD⊥平面AA₁B₁B．…（9分）
（3）作DE⊥A₁B交A₁B于E，延长DE交B₁B于F，连接CF，不难证明A₁B⊥平面C₁DF，点F即为所求．…（12分）
事实上，∵CD⊥平面AA₁B₁B，A₁B?平面AA₁B₁B，
∴A₁B⊥CD，
又A₁B⊥DF，CD∩DF=D，
∴A₁B⊥平面C₁DF．…（14分）
分析：（1）要证MN∥平面ABC，只需要证明MN平行于平面ABC内的一条直线．取BC中点G，连NG、AG，可证MAGN是平行四边形，从而MN∥AG；
（2）要证CD⊥平面AA₁B₁B，利用线面垂直的判定定理，借助于平面AA₁B₁B⊥平面ABC
可证；
（3）作DE⊥A₁B交A₁B于E，延长DE交B₁B于F，连接CF，证明A₁B⊥平面C₁DF，点F即为所求．
点评：本题以直三棱柱为载体，考查线面平行，线面垂直，解题的关键是正确利用线面平行，线面垂直的判定定理．