Question

已知函数f（x）=|x²-1|+x²+kx．
（1）若k=2，求函数y=f（x）的零点；
（2）若函数y=f(x)在(0，2)内有两个零点x1，x2．求k的取值范围及

1

x1

+

1

x2

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当k=2时，方程是含有绝对值的方程，对绝对值内的值进行分类讨论去掉绝对值后解之．
（2）先将含有绝对值的函数转化为一元一次函数和二元一次函数的分段函数的形式，再利用一元一次函数与二元
一次函数的单调性加以解决．

解答：解：（1）若k=2，则函数y=f（x）=|x²-1|+x² +2x，①当x²-1≥0时，即x≥1或x≤-1时，方程化为2x²+2x-1=0，
解得x=

-1± 3

2

，因为0＜

-1+ 3

2

＜1，故舍去，所以x=

-1- 3

2

．
②当x²-1＜0时，-1＜x＜1时，方程化为2x+1=0，解得x=-

1

2

．
由①②得当k=2时，方程f（x）=0的解所以x=

-1- 3

2

，或x=-

1

2

．
（II）解：不妨设0＜x₁＜x₂＜2，因为f（x）=

2x2+kx-1 ， |x|＞1 kx+1 ，  |x|≤1

，
所以f（x）在（0，1]是单调函数，故f（x）=0在（0，1]上至多一个解．
若 1＜x₁＜x₂＜2，则x₁x₂=-

1

2

＜0，故不符题意，因此0＜x₁≤1＜x₂＜2．
由f（x₁）=0得k=-

1

x1

，所以k≤-1． 由f（x₂）=0得，k=

1

x2

-2x₂，所以，-

7

2

＜k＜-1，
故当-

7

2

＜k＜-1时，方程f（x）=0在（0，2）上有两个解，故所求的k的范围是（-

7

2

，-1）．
由于当0＜x₁≤1＜x₂＜2时，k=-

1

x1

，2x₂²+kx₂-1=0，
消去k得，2x₁x₂²-x₁-x₂=0，∴x₁+x₂=2x₁x₂²，∴

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1• x2

=2x₂．
∵1＜x₂＜2，∴2＜2x₂＜4，∴2＜

1

x1

+

1

x2

＜4，故

1

x1

+

1

x2

的取值范围是（2，4）．
综上可得，k的范围是（-

7

2

，-1），

1

x1

+

1

x2

的取值范围是（2，4）．

点评：本题主要考查的高考考点：函数的基本性质、方程与函数的关系等基础知识；易错点：解析问题的能力较差，分类讨论的问题考虑不全面．备考提示：本题还考查函数的基本性质、方程与函数的关系等基础知识，以及综合运用所学知识、分类讨论等思想方法解析和解决问题的能力，属于中档题．