Question

【题目】已知函数f（x）=lnx﹣．

（1）若a＞0，试判断f（x）在定义域内的单调性；

（2）若f（x）在[1，e]上的最小值为，求实数a的值；

（3）若f（x）＜x2在（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析

【解析】试题分析：解 (1)由题意f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝＋＝.因为a>0，所以f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数． 3分

(2)由(1)可知，f′(x)＝.

①若a≥－1，则x＋a≥0，即f′(x)≥0在[1，e]上恒成立，此时f(x)在[1，e]上为增函数，

所以f(x)min＝f(1)＝－a＝，所以a＝－(舍去)． 5分

②若a≤－e，则x＋a≤0，即f′(x)≤0在[1，e]上恒成立，此时f(x)在[1，e]上为减函数，

所以f(x)min＝f(e)＝1－＝a＝－(舍去)． 7分

③若－e<a<－1，令f′(x)＝0得x＝－a，当1<x<－a时，f′(x)<0，所以f(x)在[1，－a]上为减函数；当－a<x<e时，f′(x)>0，所以f(x)在[－a，e]上为增函数，所以f(x)min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝a＝－.

综上所述，a＝－. 9分

(3)因为f(x)<x2，所以lnx－<x2.又x>0，所以a>xlnx－x3.

令g(x)＝xlnx－x3，

h(x)＝g′(x)＝1＋lnx－3x2，h′(x)＝－6x＝. 11分

因为x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0，h(x)在(1，＋∞)上是减函数．

所以h(x)<h(1)＝－2<0，即g′(x)<0，

所以g(x)在[1，＋∞)上也是减函数，则g(x)<g(1)＝－1，

所以a≥－1时，f(x)<x2在(1，＋∞)上恒成立． 13分