Question

把已知正整数n表示为若干个正整数（至少3个，且可以相等）之和的形式，若这几个正整数可以按一定顺序构成等差数列，则称这些数为n的一个等差分拆．将这些正整数的不同排列视为相同的分拆．如：（1，4，7）与（7，1，4）为12的相同等差分拆．正整数27的不同等差分拆有（　　）个．

• A、9
• B、10
• C、11
• D、12

Answer 1

分析：根据等差分拆的定义，分别讨论公差和等差分拆的个数，分别讨论即可得到结论．

解答：解：∵27=1×27=3×9．∴可以考虑以下等差分拆．
①以9为等差中项的三个整数的分拆共有以下9个：27=1+9+17=2+9+16=…=9+9+9；
②等差分拆为9个数的共有以下1个：3，3，3，3；3，3，3，3，3；
③等差分拆为27个数的共有以下3个：1，1，…，1（共27个1）．
综上可知：正整数30的不同等差分拆共有11个．
故选：C．

点评：本题主要考查等差数列的应用，正确理解题意是解决本题的关键，要熟练掌握分类讨论思想方法、综合性较强，难度较大．