Question

已知动圆P过点N（2，0）并且与圆M：（x+2）²+y²=4相外切，动圆圆心P的轨迹为W，过点N的直线l与轨迹W交于A、B两点．
（1）求轨迹W的方程；
（2）若2

AN

=

NB

，求直线l的方程；
（3）对于l的任意一确定的位置，在直线x=

1

2

上是否存在一点Q，使得

QA

•

QB

=0，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据题意可推断出|PM|-|PN|=2＜|MN|=4进而利用双曲线的定义可知点P的轨迹W是以M、N为焦点的双曲线的右支，设出其标准方程，依题意求得a和c，则b可求，进而求得双曲线的方程．
（2）设出l的方程与双曲线方程联立，进而利用2

AN

=

NB

求得x₂和x₁的关系式，代入方程入①②求得k，则直线的方程可得．
（3）问题可转化为判断以AB为直径的圆是否与直线x=

1

2

有公共点，先看直线l的斜率不存在，则以AB为直径的圆为（x-2）²+y²=9，可知其与直线x=

1

2

相交；再看斜率存在时设出直线的方程，利用焦点坐标和离心率求得|AB|的表达式，设以AB为直径的圆的圆心为S，点S到直径x=

1

2

的距离为d，则d可求，d-

|AB|

2

判断出结果小于0，推断出d＜

|AB|

2

，进而可知直线x=

1

2

与圆S相交，最后综合可得答案．

解答：解：（1）依题意可知|PM|=|PN|+2∴|PM|-|PN|=2＜|MN|=4，
∴点P的轨迹W是以M、N为焦点的双曲线的右支，设其方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）则a=1，c=2，
∴b²=c²-a²=3，∴轨迹W的方程为x2-

y2

3

=1，（x≥1）．
（2）当l的斜率不存在时，显然不满足2

AN

=

NB

，故l的斜率存在，设l的方程为y=k（x-2），
由

y=k(x-2) x2- y2 3 =1

得（3-k²）x²+4k²x-4k²-3=0，又设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

x1+x2= 4k2 k2-3 ＞0① x1x2= 4k2+3 k2-3 ＞0② △=16k4+4(3-k2)(4k2+3)＞0③

由①②③解得k²＞3，∵2

AN

=

NB

∴2（2-x₁，-y₁）=（x₂-2，y₂）
∴x₂=6-2x₁代入①②得

4k2

k2-3

=6-x₁，

4k2+3

k2-3

=x₁（6-2x₁）
消去x₁得k²=35，即k=±

35

，故所求直线l的方程为：y=±

35

（x-2）；
（3）问题等价于判断以AB为直径的圆是否与直线x=

1

2

有公共点
若直线l的斜率不存在，则以AB为直径的圆为（x-2）²+y²=9，可知其与直线x=

1

2

相交；若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由（2）知k²＞3且x₁+x₂=

4k2

k2-3

，又N（2，0）为双曲线的右焦点，双曲线的离心率e=2，
则|AB|=e（x₁+x₂）-2a=2×

4k2

k2-3

-2=

6(k2+1)

k2-3

设以AB为直径的圆的圆心为S，点S到直径x=

1

2

的距离为d，则d=

x1+x2

2

-

1

2

=

2k2

k2-3

-

1

2

=

3(k2+1)

2(k2-3)

∴d-

|AB|

2

=

3(k2+1)

2(k2-3)

-

3(k2+1)

k2-3

=-

3(k2+1)

2(k2-3)

∵k²＞3∴d-

|AB|

2

＜0即d＜

|AB|

2

，即直线x=

1

2

与圆S相交．
综上所述，以线段AB为直径的圆与直线x=

1

2

相交；
故对于l的任意一确定的位置，与直线x=

1

2

上存在一点Q（实际上存在两点）使得

QA

•

QB

=0

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生分析问题和解决问题的能力．