Question

【题目】某地干旱少雨，农作物受灾严重，为了使今后保证农田灌溉，当地政府决定建一横断面为等腰梯形的水渠（水渠的横断面如图所示），为减少水的流失量，必须减少水与渠壁的接触面，若水渠横断面的面积设计为定值S，渠深为h，则水渠壁的倾斜角α（0＜α＜）为多大时，水渠中水的流失量最小？

Answer 1

【答案】时，水渠中水的流失量最小。

【解析】

试题分析：本题考查三角函数在实际问题中的应用，根据题中条件分析，若要减少水的流失量，应使水与渠壁的接触面最小，即求AD+DC+CB的最小值，过B作BE⊥DC，交DC于点E，在中，，，由图可知：，又因为，所以，因此可以求得，于是得到，整理可以得到：，由于是自变量，S，h是已知量，所以要使函数值y最小，只需使的值最小即可。设，u可看作（0，2）与（﹣sinα，cosα）两点连线的斜率，由于α∈（0，），

点（﹣sinα，cosα）在曲线x2+y2=1（﹣1＜x＜0，0＜y＜1）上运动，当过（0，2）的直线与曲线相切时，直线斜率最小，此时切点为（﹣，），则有sinα=，且cosα=，故当α=时，水渠中水的流失量最小．

试题解析：作BE⊥DC于E，

在Rt△BEC中，BC=，CE=hcotα，

又AB﹣CD=2CE=2hcotα，AB+CD=，

故CD=﹣hcotα．

设y=AD+DC+BC，

则y=﹣hcotα+=+（0＜α＜），

由于S与h是常量，欲使y最小，只需u=取最小值，

u可看作（0，2）与（﹣sinα，cosα）两点连线的斜率，

由于α∈（0，），

点（﹣sinα，cosα）在曲线x2+y2=1

（﹣1＜x＜0，0＜y＜1）上运动，

当过（0，2）的直线与曲线相切时，直线斜率最小，

此时切点为（﹣，），

则有sinα=，且cosα=，

那么α=，

故当α=时，水渠中水的流失量最小．