Question

等比数列{a_n}的公比为q，其前n项的积为T_n，并且满足条件a₁＞1，a₉a₁₀-1＞0，a₉a₁₀-a₉-a₁₀+1＜0．给出下列结论：
①0＜q＜1；
②T₁₀的值是T_n中最大的；
③使T_n＞1成立的最大自然数n等于18．
其中正确结论的序号是

①③

．

Answer 1

分析：首先判断数列的单调性，然后再根据等比数列的性质进行分析判断．

解答：解：∵a₉a₁₀-1＞0，∴a₁²•q¹⁷＞1，∴q＞0，
又∵a₉a₁₀-a₉-a₁₀+1=（a₉-1）（a₁₀-1）＜0．
∴a₉，a₁₀一个大于1，一个小于1，而a₁＞1
∴数列不会是单调递增的，只能单调递减，
∴必是a₉＞1，a₁₀＜1，
∴0＜q＜1，故①正确，
由a₁₀＜1可得T₁₀＜T₉，故②错误；
又T₁₉=a₁a₂••a₁₉=（a₁₀）¹⁹＞＜1，
T₁₈=a₁a₂…a₁₇a₁₈=（a₉•a₁₀）⁹＞1，故③正确．
故答案为：①③

点评：本题考查等比数列的性质，由题意得出数列的单调性以，得出a₉＞1，a₁₀＜1是解决问题的关键，属中档题．