Question

（本题满分14分）已知四棱锥中，，底面是边长为的菱形，，．
（I）求证：；
（II）设与交于点，为中点，若二面角的正切值为，求的值．

Answer 1

解：（I）因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD
又ABCD为菱形，所以AC⊥BD,所以BD⊥平面PAC
从而平面PBD⊥平面PAC．   ……………6分
（II）过O作OH⊥PM交PM于H，连HD
因为DO⊥平面PAC，可以推出DH⊥PM,所以∠OHD为A-PM-D的平面角
又，且
从而

所以，即．      ………………………14分

法二：如图,以为原点,所在直线为轴,轴建立空间直角坐标系，则,, …………8分
从而
因为BD⊥平面PAC,所以平面PMO的一个法向量为．  
设平面PMD的法向量为,由得

取，即 ……………11分
设与的夹角为，则二面角大小与相等
从而，得

从而，即．                ……………14分

略