Question

设向量

a

=（0，2），

b

=（1，0），过定点A（0，-2），以

a

+λ

b

方向向量的直线与经过点B（0，2），以向量

b

-2λ

a

为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R，
（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设过E（1，0）的直线l与C交于两个不同点M、N，求

EM

•

EN

的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设P（x，y），求得过定点A（0，-2），以

a

+λ

b

方向向量的直线方程，以及过定点B（0，2），以

b

-2λ

a

方向向量的直线方程，消去λ即得点P的轨迹C的方程．
（Ⅱ）用点斜式设直线l的方程，代入曲线C的方程得到根与系数的关系，判别式大于零，代入

EM

•

EN

 的式子化简，求得

EM

•

EN

的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）设P（x，y），∵

a

=（0，2），

b

=（1，0），∴

a

+λ

b

=（λ，2），

b

-2λ

a

=（1，-4λ），
过定点A（0，-2），以

a

+λ

b

方向向量的直线方程为：2x-λy-2λ=0，
过定点B（0，2），以

b

-2λ

a

方向向量的直线方程为：4λx+y-2=0，
联立消去λ得：8x²+y²=4∴求点P的轨迹C的方程为8x²+y²=4．
（Ⅱ）当过E（1，0）的直线l与x轴垂直时，l与曲线C无交点，不合题意，
∴设直线l的方程为：y=k（x-1），l与曲线C交于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由

y=k(x-1) 8x2+y2=4

?（k²+8）x²-2k²x+k²-4=0，则

△=4k4-4(k2+8)(k2-4)＞0?0≤k2＜8 x1+x2= 2k2 k2+8 ，x1x2= k2-4 k2+8

，
又

EM

=（x₁-1，y₁），

EN

=（x₂-1，y₂），
∴

EM

•

EN

=（x₁-1，y₁）•（x₂-1，y₂）
=x₁x₂-（x₁+x₂）+1+y₁y₂
=x₁x₂-（x₁+x₂）+1+k²（x₁-1）（x₂-1）
=（1+k²）x₁x₂-（1+k²）（x₁+x₂）+1+k²
=（1+k²）（

k2-4

k2+8

-

2k2

k2+8

+1）
=

4(k2+1)

k2+8

=4-

28

k2+8

，
∵0≤k²＜8，∴

EM

•

EN

的取值范围是[

1

2

，

9

4

）．

点评：本题考查求点的轨迹方程，一元二次方程根与系数的关系，两个向量的数量积公式，化简

EM

•

EN

是解题的难点．