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设向量
a
=(0,2),
b
=(1,0),过定点A(0,-2),以
a
b
方向向量的直线与经过点B(0,2),以向量
b
-2λ
a
为方向向量的直线相交于点P,其中λ∈R,
(Ⅰ)求点P的轨迹C的方程;
(Ⅱ)设过E(1,0)的直线l与C交于两个不同点M、N,求
EM
EN
的取值范围.
分析:(Ⅰ)设P(x,y),求得过定点A(0,-2),以
a
b
方向向量的直线方程,以及过定点B(0,2),以
b
-2λ
a
方向向量的直线方程,消去λ即得点P的轨迹C的方程.
(Ⅱ)用点斜式设直线l的方程,代入曲线C的方程得到根与系数的关系,判别式大于零,代入
EM
EN
 的式子化简,求得
EM
EN
的取值范围.
解答:解:(Ⅰ)设P(x,y),∵
a
=(0,2),
b
=(1,0),∴
a
b
=(λ,2),
b
-2λ
a
=(1,-4λ),
过定点A(0,-2),以
a
b
方向向量的直线方程为:2x-λy-2λ=0,
过定点B(0,2),以
b
-2λ
a
方向向量的直线方程为:4λx+y-2=0,
联立消去λ得:8x2+y2=4∴求点P的轨迹C的方程为8x2+y2=4.
(Ⅱ)当过E(1,0)的直线l与x轴垂直时,l与曲线C无交点,不合题意,
∴设直线l的方程为:y=k(x-1),l与曲线C交于M(x1,y1),N(x2,y2),
y=k(x-1)
8x2+y2=4
?(k2+8)x2-2k2x+k2-4=0,则
△=4k4-4(k2+8)(k2-4)>0?0≤k2<8
x1+x2=
2k2
k2+8
x1x2=
k2-4
k2+8

EM
=(x1-1,y1),
EN
=(x2-1,y2),
EM
EN
=(x1-1,y1)•(x2-1,y2
=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2
=x1x2-(x1+x2)+1+k2(x1-1)(x2-1)
=(1+k2)x1x2-(1+k2)(x1+x2)+1+k2
=(1+k2)(
k2-4
k2+8
-
2k2
k2+8
+1)
=
4(k2+1)
k2+8

=4-
28
k2+8

∵0≤k2<8,∴
EM
EN
的取值范围是[
1
2
9
4
).
点评:本题考查求点的轨迹方程,一元二次方程根与系数的关系,两个向量的数量积公式,化简
EM
EN
是解题的难点.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知二次函数f (x)=x2+mx+n对任意x∈R,都有f (-x)=f (2+x)成立,设向量
a
=( sinx,2 ),
b
=(2sinx,
1
2
),
c
=( cos2x,1 ),
d
=(1,2),
(Ⅰ)求函数f (x)的单调区间;
(Ⅱ)当x∈[0,π]时,求不等式f (
a
b
)>f (
c
d
)的解集.

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科目:高中数学 来源: 题型:

设向量
a
=(0,2),
b
=(
3
,1),则
a
b
的夹角等于(  )

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

设向量
a
=(0,2),
b
=(
3
,1),则
a
b
的夹角等于(  )
A.
π
3
B.
π
6
C.
3
D.
6

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

设向量
a
=(0,2),
b
=(1,0),过定点A(0,-2),以
a
b
方向向量的直线与经过点B(0,2),以向量
b
-2λ
a
为方向向量的直线相交于点P,其中λ∈R,
(Ⅰ)求点P的轨迹C的方程;
(Ⅱ)设过E(1,0)的直线l与C交于两个不同点M、N,求
EM
EN
的取值范围.

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