Question

设函数f（x）=x²-a．
（Ⅰ）求函数g（x）=xf（x）在区间[0，1]上的最小值；
（Ⅱ）当a＞0时，记曲线y=f（x）在点P（x₁，f（x₁））（x1＞

a

）处的切线为l，l与x轴交于点A（x₂，0），求证：x1＞x2＞

a

．

Answer 1

分析：（I）先求出f（x）的导数，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，求出极值；研究闭区间上的最值问题，先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最小值．
（II）欲判别x₁和x₂的大小，只须先求出其斜率的值，再利用导数求出在x=x₁处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后求出切线的方程，令y=0求得x₂，作差与0比较即得．

解答：解：（Ⅰ）g（x）=x³-ax，g′（x）=3x²-a，（2分）
当a≤0时，g（x）为R上的增函数，
所以g（x）在区间[0，1]上的最小值为g（0）=0；（4分）
当a＞0时，g′（x）的变化情况如下表：
所以，函数g（x）在(-∞，-

a 3

)，(

a 3

，+∞)上单调递增，在(-

a 3

，

a 3

)上单调递减．（6分）
当

a 3

＜1，即0＜a＜3时，g（x）在区间[0，1]上的最小值为g(

a 3

)=-

2a

9

3a

；（7分）
当

a 3

≥1，即a≥3时，g（x）在区间[0，1]上的最小值为g（1）=1-a．（8分）
综上，当a≤0时，g（x）在区间[0，1]上的最小值为g（0）=0；当0＜a＜3时，g（x）的最小值为-

2a

9

3a

；当a≥3时，g（x）的最小值为1-a．
（Ⅱ）证明：曲线y=f（x）在点P（x₁，f（x₁））（x1＞

a

）处的切线方程为y-（x₁²-a）=2x₁（x-x₁），
令y=0，得x2=

x 2 1 +a

2x1

，（10分）
所以x2-x1=

a- x 2 1

2x1

，因为x1＞

a

，所以

a- x 2 1

2x1

＜0，x₂＜x₁．（11分）
因为x1＞

a

，所以

x1

2

≠

a

2x1

，
所以x2=

x 2 1 +a

2x1

=

x1

2

+

a

2x1

＞

a

，（13分）
所以x1＞x2＞

a

．（14分）

点评：本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数求闭区间上函数的最值、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．