Question

（2013•崇明县二模）已知椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

2

= 1（a＞0），其焦点在x轴上，点Q(

2

2

，

7

2

)为椭圆上一点．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）设动点P（x₀，y₀）满足

OP

=

OM

+2

ON

，其中M、N是椭圆C上的点，直线OM与ON的斜率之积为-

1

2

，求证：

x

2 0

+2

y

2 0

为定值；
（3）在（2）的条件下探究：是否存在两个定点A，B，使得|PA|+|PB|为定值？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）把点Q坐标代入椭圆方程即可求得a²；
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由直线OM与ON的斜率之积为-

1

2

，可得M、N坐标间的关系式，由

OP

=

OM

+2

ON

，⇒

x0=x1+2x2 y0=y1+2y2

，从而

x

2 0

+2

y

2 0

可化为M、N坐标的表达式，再由M、N是椭圆C上的点即可求得

x

2 0

+2

y

2 0

为定值；
（3）由（2）知，动点P（x₀，y₀）满足x02+2y02=20，从而可判断点P轨迹是椭圆，其焦点即为定点A、B；

解答：解：（1）因为点Q(

2

2

，

7

2

)为椭圆上一点，
所以

1

2a2

+

7

8

=1，解得a²=4，
所以椭圆方程为

x2

4

+

y2

2

=1；
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
又kOM•kON=

y1

x1

•

y2

x2

=-

1

2

，化简得x₁x₂+2y₁y₂=0，
又M、N是椭圆C上的点，所以

x12

4

+

y12

2

=1，

x22

4

+

y22

2

=1，即x12+2y12=4，x22+2y22=4，
由

OP

=

OM

+2

ON

，⇒

x0=x1+2x2 y0=y1+2y2

，
所以x02+2y02=(x1+2x2)2+2(y1+2y2)2
=(x12+2y12)+4(x22+2y22)+4x1x2+8y1y2
=4+4×4+4（x₁x₂+2y₁y₂）
=20（定值）；                                     
（3）由（2）知，动点P（x₀，y₀）满足x02+2y02=20，即

x02

20

+

y02

10

=1，
所以点P的轨迹是以(±

10

，0)为焦点的椭圆．
故存在点A（

10

，0）、B（-

10

，0），使得|PA|+|PB|=4

5

（定值）．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解及平面向量基本定理，考查学生对问题的理解分析能力及解决问题的能力，具有一定综合性．