Question

1．如图，四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，且∠BAD=∠ADC=90°，E，F，G分别为PA，PB，PC的中点，直线PB⊥平面EFG，AB=$\frac{1}{3}$DC=$\frac{1}{3}AD$=1．
（1）若点M∈平面EFG，且与点E不重合，判断直线EM与平面ABCD的关系，并说明理由；
（2）若PB=4，求四棱锥C-ABFE的体积．

Answer 1

分析 （1）利用三角形中位线的性质结合面面平行的判定定理得到面EFG∥面ABCD，然后可得直线EM∥平面ABCD；
（2）C到平面ABEF的距离为AD=3，梯形ABEF中，EF=$\frac{1}{2}$，AB=1，高BF=2，面积为$\frac{1}{2}•（\frac{1}{2}+1）×2$=$\frac{3}{2}$，直接代入棱锥的体积得答案．

解答 解：（1）如图，直线EM∥平面ABCD．
事实上：
∵E，F，G分别为PA，PB，PC的中点，
∴EF∥AB，FG∥BC，EF∩FG=F，AB∩BC=B，
∴平面EFG∥平面ABC，
∵点M∈平面EFG，且与点E不重合，∴直线EM∥平面ABCD；
（2）∵直线PB⊥平面EFG，∴C到平面ABEF的距离为AD=3
梯形ABEF中，EF=$\frac{1}{2}$，AB=1，高BF=2，面积为$\frac{1}{2}•（\frac{1}{2}+1）×2$=$\frac{3}{2}$，
∴四棱锥C-ABFE的体积V=$\frac{1}{3}•\frac{3}{2}•3$=$\frac{3}{2}$．

点评 本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．