Question

2．已知命题p：关于实数x的方程x²+mx+1=0有两个不等的负根；命题q：关于实数x的方程4x²+4（m-2）x+1=0无实根．
（1）命题“p或q”真，“p且q”假，求实数m的取值范围．
（2）若关于x的不等式（x-m）（x-m+5）＜0（m∈R）的解集为M；命题q为真命题时，m的取值集合为N．当M∪N=M时，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分别求出命题p，q为真时的m的范围，通过讨论p，q的真假得到关于m的不等式组，解出即可；
（2）先求出关于M、N的x的范围，根据N⊆M，得到不等式组，解出即可．

解答 解：（1）若方程x²+mx+1=0有两不等的负根，
则$\left\{\begin{array}{l}{△{=m}^{2}-4＞0}\\{m＞0}\end{array}\right.$，解得：m＞2，
即命题p：m＞2，
若方程4x²+4（m-2）x+1=0无实根，则△=16（m-2）²-16=16（m²-4m+3）＜0
解得：1＜m＜3．即命题q：1＜m＜3．
由题意知，命题p、q应一真一假，
即命题p为真，命题q为假或命题p为假，命题q为真．
∴$\left\{\begin{array}{l}{m＞2}\\{m≤1或m≥3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m≤2}\\{1＜m＜3}\end{array}\right.$，
解得：m≥3或1＜m≤2．
（2）∵M∪N=M，∴N⊆M，
∵M=（m-5，m），N=（1，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}m-5≤1\\ m≥3\end{array}\right.$，
解得：3≤m≤6．

点评 本题考查了复合命题的判断，考查二次函数的性质，集合的关系，是一道中档题．