Question

求下列函数的定义域与值域
（1）y=

x 1 2 +x- 1 2

x 1 2 -x- 1 2

；
（2）y=

-(lo g x 1 4 )2+lo g x 1 4 +2

．

Answer 1

分析：（1）由分母不为0，得自变量x的取值即为函数的定义域，再把函数f（x）的解析式化简，得到y=

x+1

x-1

，求函数y的值域，可以先用y表示x，这样含y的解析式中y的取值范围即是所求函数y的值域．
（2）先由被开方数为非负数建立不等关系即可求出函数的定义域，利用 换元法：设log 

1

4

x=t，则y=

-t2+t+2

，再结合二次函数的性质求出函数的值域．

解答：解：（1）由题意，函数式中分母不为0，且被开方数非负数，
∴

x＞0 x 1 2 -x- 1 2 ≠0

，
∴x＞0且x≠1；
所以函数f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞）．
由题函数可变为y=

x+1

x-1

，
∴y（x-1）=x+1，
∴x（y-1）=y+1，
∴x=

y+1

y-1

，
∴由于x＞0且x≠1，

y+1

y-1

＞0，解得-1＜y＜1；所以函数的值域为：（-∞，-1）∪（1，+∞）；
（2）由-（log 

1

4

x）²+log 

1

4

x+2≥0得-1≤log 

1

4

x≤2，
∴

1

16

≤x≤4，
所以函数的定义域为[

1

16

，4]，
设log 

1

4

x=t，则y=

-t2+t+2

=

-(t- 1 2 )2+ 9 4

，
其中-1≤t≤2，
∴当t=

1

2

时，y取得最大值

3

2

；当t=-1或2时，y取得最小值0；
所以函数的值域为：[0，

3

2

]．

点评：本题考查了指数函数，对数函数的定义域和值域的问题．对于不容易求值域的函数，通常先用y表示x，则含y的解析式中y的取值范围即是所求函数y的值域（反函数法）．