Question

1．已知f（x）=1n（1+x）-$\frac{x（x+a）}{a（x+1）}$（a＞1）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）证明：（1+$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1+$\frac{1}{{3}^{2}}$）（1+$\frac{1}{{4}^{2}}$）…（1+$\frac{1}{{n}^{2}}$）＜e${\;}^{\frac{3}{4}}$（n∈N*，n≥2）．

Answer 1

分析 （1）由函数的解析式求得函数的定义域，再求出f′（x），分类讨论a的范围，求得f′（x）的符号，从而求得函数f（x）的单调区间．
（2）利用导数求得g（x）=x²-ln（1+x²）是增函数，可得当x＞0时，1n（1+x²）＜x²．再用放缩法证得ln（1+$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1+$\frac{1}{{3}^{2}}$）（1+$\frac{1}{{4}^{2}}$）…（1+$\frac{1}{{n}^{2}}$）＜$\frac{3}{4}$，从而证得要证的不等式成立．

解答 解：（1）∵f（x）=1n（1+x）-$\frac{x（x+a）}{a（x+1）}$（a＞1），故函数的定义域为（-1，+∞），
∴f′（x）=$\frac{1}{x+1}$-$\frac{（2x+a）•a（x+1）-{（x}^{2}+ax）•a}{{a}^{2}{•（x+1）}^{2}}$=$\frac{1}{x+1}$-$\frac{{ax}^{2}+2ax{+a}^{2}}{{a}^{2}{•（x+1）}^{2}}$=$\frac{-x•[x-（a-2）]}{a{•（x+1）}^{2}}$，
令f′（x）=0，求得x=0，或 x=a-2＞-1，
当1＜a＜2时，a-2＜0，函数的增区间为（-1，a-2）、（0，+∞）；减区间为（a-2，0）．
 当a=2时，a-2=0，f′（x）=$\frac{{-x}^{2}}{{a}^{2}{•（x+1）}^{2}}$≤0，函数f（x）在（-1，+∞）上单调递减．
当a＞2时，a-2＞0，函数的增区间为（-1，0）、（a-2，+∞）；减区间为（0，a-2）．
（2）证明：设x＞0，令g（x）=x²-ln（1+x²），得g′（x）=2x-$\frac{2x}{1{+x}^{2}}$=$\frac{{2x}^{3}}{1{+x}^{2}}$≥0，
∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，故g（x）＞g（0）=0，
即当x＞0时，1n（1+x²）＜x²．
∴1n（1+$\frac{1}{{2}^{2}}$）＜$\frac{1}{{2}^{2}}$，1n（1+$\frac{1}{{3}^{2}}$）＜$\frac{1}{{3}^{2}}$，1n（1+$\frac{1}{{4}^{2}}$）＜$\frac{1}{{4}^{2}}$，…，1n（1+$\frac{1}{{n}^{2}}$）＜$\frac{1}{{n}^{2}}$，
∴1n（1+$\frac{1}{{2}^{2}}$）+1n（1+$\frac{1}{{3}^{2}}$）+1n（1+$\frac{1}{{4}^{2}}$）+…+1n（1+$\frac{1}{{n}^{2}}$）＜$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$ 
＜$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{2•3}$+$\frac{1}{3•4}$+…+$\frac{1}{（n-1）•n}$=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$=$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{n}$＜$\frac{3}{4}$，
∴（1+$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1+$\frac{1}{{3}^{2}}$）（1+$\frac{1}{{4}^{2}}$）…（1+$\frac{1}{{n}^{2}}$）＜${e}^{\frac{3}{4}}$．

点评 本题考查函数的单调性的讨论，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意累加法、构造法、导数性质的合理运用，属于难题．