Question

下列命题中：
①一个整数的平方是偶数，则这个整数是偶数；
②

2

是无理数；
③经过平面内一点和平面外一点的直线一定不在平面内；
④若向量

a

、

b

是平面向量的一组基底，则

a

+

b

与

a

-

b

也可作为平面向量的一组基底．
其中正确的命题是

①②③④

．

Answer 1

分析：用反证法证明，①④为正确命题；
根据直线在平面内，直线上的所有点都在平面内判断③是否正确．

解答：解：∵设这个数不是偶数，则（2n+1）²=4n²+4n+1=2（2n²+2n）+1=2m+1．（m=2n²+2n），它的平方不是偶数，∴假设错误，①正确；

2

是无理数，∴②正确；
∵直线在平面内，直线上的所有点都在平面内，过平面内一点和平面外一点的直线一定不在平面内，③正确；
设

a

+

b

与

a

-

b

共线，则

a

+

b

=λ（

a

-

b

）⇒

a

=

λ+1

λ-1

b

，

a

与

b

共线，∴

a

+

b

与

a

-

b

不共线，可作为平面向量的一组基底，④正确．
故答案是①②③④

点评：本题考查命题的真假判断．反证法是证明的常用方法，其证明的思路是：首先假设与要证明的结论相反的结论成立，
然后从假设的结论出发，推导出与已知的矛盾（或明显的不成立），否定假设的结论，从而证明要证的结论成立．