Question

已知函数f（x）=3

2

sin

x

4

cos

x

4

-3

2

cos²

x

4

+

3 2

2

．
（1）用五点法作出函数在一个周期的图象；
（2）若x∈[

5π

6

，

11π

6

]，求f（x）的值域；
（3）说明此函数可由y=sinx的图象经过怎样的变换得到．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：计算题,函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：（1）运用二倍角公式和两角差的正弦公式化简f（x），并用五点法求出对应的点的坐标，即可在坐标系中作出函数一个周期的图象；
（2）由x的范围，求得

x

2

-

π

4

的范围，再由正弦函数的图象和性质，即可得到值域；
（3）运用三角函数的相位变换、周期变换和伸缩变换，即可得到f（x）的图象．

解答： 解：（1）函数f（x）=3

2

sin

x

4

cos

x

4

-3

2

cos²

x

4

+

3 2

2

=

3 2

2

sin

x

2

-

3 2

2

（1+cos

x

2

）+

3 2

2

=

3 2

2

（sin

x

2

-cos

x

2

）=3sin（

x

2

-

π

4

），
列表：

x	π 2	3π 2	5π 2	7π 2	9π 2
x 2 - π 4	0	π 2	π	3π 2	2π
y=3sin（ x 2 - π 4 ）	0	3	0	-3	0

描点、连线，如图所示：

（2）当x∈[

5π

6

，

11π

6

]，
则

x

2

-

π

4

∈[

π

6

，

2π

3

]，
即有sin（

x

2

-

π

4

）∈[

1

2

，1]，
即有3sin（

x

2

-

π

4

）∈[

3

2

，3]，
则f（x）的值域为[

3

2

，3]；
（3）将y=sinx的图象先向右平移

π

4

个单位，
再将所得图象上点的纵坐标不变，
横坐标变为原来的2倍，再将所得图象上点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，可得函数f（x）=3sin（

x

2

-

π

4

）的图象．

点评：本题考查三角函数的化简，考查二倍角公式和两角差的正弦公式的运用，考查五点法画图的方法，考查正弦函数的值域和三角函数的图象变换，属于基础题和易错题．