Question

已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量

m

=(1，-

3

)，

n

=（cosA，sinA），

m

⊥

n

，且acosC+ccosA=bsinB．
（Ⅰ）求角C的值；
（Ⅱ）△ABC的面积为

3 3

2

，求a+b的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用向量的垂直，数量积为0，推出A的三角函数的关系，求出A的值，利用正弦定理、两角和的正弦函数化简方程，求出B的值，然后求角C的值；
（Ⅱ）通过△ABC的面积为

3 3

2

，求出ab的值，求a+b的值．

解答：解：（Ⅰ）由

m

⊥

n

，得cosA-

3

sinA=0，即tanA=

3

3

，∵A∈（0，π），∴A=

π

6

，（2分）
∵acosC+ccosA=bsinB，∴由正弦定理得sinAcosC+sinCcosA=sinBsinB，
即sin（A+C）=sin²B，（4分）
又∵sin（A+C）=sinB，∴sinB=sin²B，∴sinB=1，∴B=

π

2

，∴C=

π

3

．（6分）
（Ⅱ由面积公式得

1

2

absin

π

3

=

3 3

2

，即ab=6，（8分），又

b

a

= 2
∴a+b=3

3

．（12分）

点评：本题主要考查三角形中的几何计算．常涉及正弦定理、余弦定理和面积公式等常用公式，故应熟练记忆．