Question

15．设函数f（x）=ax³-3x+1（x∈R），若对于任意的x∈[-1，1]，都有f（x）≥0成立，则函数f（x）的零点个数为2．

Answer 1

分析 求导f′（x）=3ax²-3，从而讨论以确定导数的正负，从而确定函数的单调性及最值，从而化恒成立问题为最值问题即可．

解答 解：∵f（x）=ax³-3x+1，
∴f′（x）=3ax²-3，
当a≤1时，对于任意的x∈[-1，1]，f′（x）≤0恒成立；
∴f（x）=ax³-3x+1在[-1，1]上是减函数，
∴f_min（x）=f（1）=a-3+1≥0，
故a≥2；
故无解；
当a＞1时，f′（x）=3ax²-3=3a（x-$\frac{\sqrt{a}}{a}$）（x+$\frac{\sqrt{a}}{a}$），
∴f（x）在[-1，-$\frac{\sqrt{a}}{a}$）上是增函数，在（-$\frac{\sqrt{a}}{a}$，$\frac{\sqrt{a}}{a}$）上是减函数，
在（$\frac{\sqrt{a}}{a}$，1]上是增函数；
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）=-a+3+1≥0}\\{f（\frac{\sqrt{a}}{a}）=a•（\frac{\sqrt{a}}{a}）^{3}-3\frac{\sqrt{a}}{a}+1≥0}\end{array}\right.$，
解得，a=4；
故函数f（x）=4x³-3x+1=（2x-1）²（x+1），
故函数f（x）的零点为$\frac{1}{2}$和-1；
故答案为：2．

点评 本题考查了导数的综合应用及恒成立问题化为最值问题的方法．