Question

已知点A（3，2），F是双曲线x2-

y2

3

=1的右焦点，若双曲线上有一点P，使|PA|+

1

2

|PF|最小，则点P的坐标为（　　）

• A、(-

  21

  3

  ，2)
• B、(

  21

  3

  ，2)
• C、(3，2

  6

  )
• D、(-3，2

  6

  )

Answer 1

分析：由题意可得离心率等于

c

a

=2，设点P到右准线的距离等于|PM|，则 |PA|+

1

2

|PF|=|PA|+|PM|，故P、M、A三点共线时，|PA|+

1

2

|PF|取得最小值，故点P的纵坐标为2，把把y=2 代入双曲线求得正值x即为点P的横坐标．

解答：解：由题意可得右焦点F（2，0），离心率等于

c

a

=

2

1

=2，设点P到右准线的距离等于|PM|，
则由双曲线的定义可得

|PF|

|PM|

=2，故  |PA|+

1

2

|PF|=|PA|+|PM|，当 |PA|+

1

2

|PF|取得最小值时，
P、M、A三点共线，故点P的纵坐标为 2，把y=2 代入双曲线x2-

y2

3

=1求得正值x=

21

3

，
故点P的坐标为 (

21

3

，2)，
故选B．

点评：本题考查双曲线的定义、标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，判断P、M、A三点共线时，
|PA|+

1

2

|PF|取得最小值，是解题的关键．