Question

（2013•太原一模）已知函数f（x）=1nx-x．
（I）若不等式 xf（x）≥-2x²+ax-12对一切x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围
（Ⅱ）若关于x的方程 f（x）-x³+2ex²-bx=0恰有一解（e为自然对数的底数），求实数b的值．

Answer 1

分析：（I）分离出参数a后转化为求函数的最值问题解决，构造函数，利用导数可求得函数的最值；
（Ⅱ）lnx-x-x³+2ex²-bx=0在（0，+∞）上有唯一解，即

lnx

x

=x²-2ex+（b+1）在（0，+∞）上有唯一解，构造函数h（x）=

lnx

x

，x＞0，利用导数可求得x=e时h（x）取得最大值，构造函数k（x）=x²-2ex+（b+1），由二次函数的性质可得x=e时k（x）取得最小值，欲满足题意，只需h（x）_max=k（x）_min，由此可求得b值；

解答：解：（I）由题意得xlnx-x²≥-2x²+ax-12对一切x∈（0，+∞）恒成立，即a≤lnx+x+

12

x

对一切x∈（0，+∞）恒成立，
设g（x）=lnx+x+

12

x

，x＞0，则g′（x）=

(x+4)(x-3)

x2

，
当0＜x＜3时，g′（x）＜0，g（x）在（0，3）上单调递减，当x＞3时，g′（x）＞0，g（x）在（3，+∞）上单调递增，
所以g（x）_min=g（3）=7+ln3，
所以a∈（-∞，7+ln3]；
（Ⅱ）由题意得，lnx-x-x³+2ex²-bx=0在（0，+∞）上有唯一解，即

lnx

x

=x²-2ex+（b+1）在（0，+∞）上有唯一解，
设h（x）=

lnx

x

，x＞0，则h′（x）=

1-lnx

x2

，
令h′（x）＞0，则0＜x＜e；令h′（x）＜0，则x＞e，
所以h（x）_max=h（e）=

1

e

；
设k（x）=x²-2ex+（b+1），则k（x）在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，
所以k（x）_min=k（e）=b+1-e²，
所以当且仅当b+1-e²=

1

e

时，方程

lnx

x

=x²-2ex+（b+1）在（0，+∞）上有唯一解，
所以b=e2+

1

e

-1．

点评：本题考查利用导数求函数的最值，考查函数恒成立问题，解决恒成立问题的关键是进行等价转化，常转化为函数最值解决，考查数形结合思想．