Question

（1）若不等式ax²+bx+c＜0解集为{x|x＜2或x＞3}，解关于x的不等式bx²+ax+c＞0，（a∈R）；
（2）解关于x的不等式ax²+（2a-1）x-2＜0（a∈R）

Answer 1

分析：（1）不等式ax²+bx+c＜0解集为{x|x＜2或x＞3}?2，3是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根，且a＜0．利用根与系数的关系即可得出a，b，c的关系．
（.2）原不等式可化为（ax-1）（x+2）＜0，通过对a分类讨论即可得出．

解答：解：（1）∵不等式ax²+bx+c＜0解集为{x|x＜2或x＞3}，
∴2，3是一元二次方程ax²+bx+c=0的两个实数根，且a＜0．
∴

- b a =5 c a =6， a＜0

  解得b=-5a，c=6a，
原不等式为-5ax²+ax+6a＞0，又a＜0．
∴5x²-x-6＞0，解得 x＞

6

5

或x＜-1．
∴关于x的不等式bx²+ax+c＞0，（a∈R）的解集为{x|x＞

6

5

或x＜-1 }；
（2）原不等式可化为（ax-1）（x+2）＜0 
 当a=0时，x＞-2；
 当a＞0时，解得x1=

1

a

，x2=-2，-2＜x＜

1

a

 
 当a＜0，化为(x-

1

a

)(x+2)＞0 
 当

1

a

-(-2)=

1+2a

a

＞0 
 即a＜-

1

2

 时，解得x＞

1

a

或x＜-2；
当-

1

2

＜a＜0时，解得-

1

a

＜x＜-2；
当a=-

1

2

时，不等式化为（x+2）²＞0，解得x≠-2．
综上可知：当a＞0时，不等式的解集为{x|-2＜x＜

1

a

}；
当a=0时，不等式的解集为{x|x＞-2}；
当-

1

2

＜a＜0时，不等式的解集为{x|-2＞x＞-

1

a

}；
当a=-

1

2

时，不等式的解集为{x|x≠-2}；
当a＜-

1

2

0时，不等式的解集为{x|x＞

1

a

或x＜-2}．

点评：本题考查了一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系、根与系数的关系、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于难题．