Question

（本小题满分14分）
在数和之间插入个实数,使得这个数构成递增的等比数列,将这个数的乘积记为,令,N.
(1)求数列的前项和；
(2)求.

Answer 1

(1)
(2)

（本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前项和等基础知识，考查合情推理、化归与转化、特殊与一般的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力）
(1)解法1:设构成等比数列,其中,
依题意,,    ①                …………… 1分
,    ②                …………… 2分
由于,    …………… 3分
①②得.…………… 4分
∵,
∴.              ………… 5分
∵,        ………… 6分
∴数列是首项为,公比为的等比数列.        …………… 7分
∴.        …………… 8分
解法2: 设构成等比数列,其中,公比为,
则,即.               ………… 1分
依题意,得
          ………… 2分
            ……… 3分
                         …… 4分
.                          ……… 5分
∵,                   ………… 6分
∴数列是首项为,公比为的等比数列.         …………… 7分
∴. …………… 8分
(2)解: 由(1)得,              …………… 9分
∵,     ……………10分
∴,N.   ……………11分
∴

.                          …………… 14分