Question

10名运动员，男6名，女4名，其中男女队长各一名，选5名同学参加比赛，共有多少种下述条件的选派方法（结果用数字作答）．
（1）男3名，女2名；                 
（2）队长至少有1人参加；
（3）至少1名女运动员；              
（4）既要有队长，又要有女运动员．

Answer 1

分析：（1）首先选3名男运动员，有C₆³种选法．再选2名女运动员，有C₄²种选法．利用分步计数原理得到结果．
（2）只有男队长的选法为C₈⁴种，只有女队长的选法为C₈⁴种，男、女队长都入选的选法为C₈³种，分类计数可得．
（3）从事件的对立面来考虑，拿任意的选法减掉全是男运动员的方法种数即可．
（4）当有女队长时，其他人选法任意，共有C₉⁴种选法．不选女队长时，必选男队长，共有C₈⁴种选法．其中不含女运动员的选法有C₅⁴种，得到结果．

解答：解：（1）由分步计数问题，首先选3名男运动员，有C₆³种选法，
再选2名女运动员，有C₄²种选法，故共有C₆³•C₄²=120种选法；
（2）“只有男队长”的选法为C₈⁴种；“只有女队长”的选法为C₈⁴种；
“男、女队长都入选”的选法为C₈³种；∴共有2C₈⁴+C₈³=196种．
∴“至少1名队长”的选法有C₁₀⁵-C₈⁵=196种选法．
（3）“至少1名女运动员”的对立事件为“全是男运动员”．
从10人中任选5人，有C₁₀⁵种选法，其中全是男运动员的选法有C₆⁵种．
所以“至少有1名女运动员”的选法有C₁₀⁵-C₆⁵=246种；
∴“至少1名队长”的选法有C₁₀⁵-C₈⁵=196种选法．
（4）当有女队长时，其他人选法任意，共有C₉⁴种选法．
不选女队长时，必选男队长，共有C₈⁴种选法．
其中不含女运动员的选法有C₅⁴种，
∴不选女队长时共有C₈⁴-C₅⁴种选法．
既有队长又有女运动员的选法共有C₉⁴+C₈⁴-C₅⁴=191种．

点评：本题考查分类、分步计数原理，题目中同时出现分类和分步是一个比较综合的题目，属中档题．