Question

【题目】将边长分别为、、、…、、、…的正方形叠放在一起，形成如图所示的图形，由小到大，依次记各阴影部分所在的图形为第个、第个、……、第个阴影部分图形.设前个阴影部分图形的面积的平均值为.记数列满足，

（1）求的表达式；

（2）写出，的值，并求数列的通项公式；

（3）定义，记，且恒成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）， ，；（3）.

【解析】

（1）根据题意，分别求出每一个阴影部分图形的面积，即可得到前个阴影部分图形的面积的平均值；（2）依据递推式，结合分类讨论思想，即可求出数列的通项公式；（3）先求出的表达式，再依题意得到，分类讨论不等式恒成立的条件，取其交集，即得所求范围。

（1）由题意有，第一个阴影部分图形面积是：；第二个阴影部分图形面积是： ；第三个阴影部分图形面积是：；所以第个阴影部分图形面积是：；故；

（2）由（1）知，，，所以，

，

当时，

当时，

，

综上，数列的通项公式为，。

（3）由（2）知，，，由题意可得，恒成立，

①当时，，即，所以，

②当时，，即，

所以，

③当时，，即，

所以，

综上，。