Question

已知数列{a_n}满足[2+（-1）ⁿ⁺¹]a_n+[2+（-1）ⁿ]a_n+1=1+（-1）ⁿ•3n，n∈N^*，a₁=2．
（Ⅰ）求a₂，a₃的值；
（Ⅱ）设bn=a_2n+1-a_2n-1，n∈N^*，证明：{b_n}是等差数列；
（Ⅲ）设c_n=a_n+n²，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

（Ⅰ）解：因为数列{a_n}满足[2+（-1）ⁿ⁺¹]a_n+[2+（-1）ⁿ]a_n+1=1+（-1）ⁿ•3n，（*），且a₁=2，
所以将n=1代入（*）式，得3a₁+a₂=-2，故a₂=-8
将n=2代入（*）式，得a₂+3a₃=7，故a₃=5
（Ⅱ）证明：在（*）式中，用2n代换n，得[2+（-1）²ⁿ⁺¹]a_2n+[2+（-1）²ⁿ]a_2n+1=1+（-1）²ⁿ•6n，
即a_2n+3a_2n+1=1+6n ①，
再在（*）式中，用2n-1代换n，得[2+（-1）²ⁿ]a_2n-1+[2+（-1）^2n-1]a_2n=1+（-1）^2n-1•（6n-3），
即3a_2n-1+a_2n=4-6n②，
①-②，得3（a_2n+1-a_2n-1）=12n-3，即b_n=4n-1
∴b_n+1-b_n=4，
∴{b_n}是等差数列；
（Ⅲ）解：因为a₁=2，由（Ⅱ）知，a_2k-1=a₁+（a₃-a₁）+…+（a_2k-1-a_2k-3）=（k-1）（2k-1）+2 ③，
将③代入②，得3（k-1）（2k-1）+6+a_2k=4-6k，即a_2k=-6k²+3k-5
所以c_2k-1=a_2k-1+（2k-1）²=-4k²-5k+，c_2k=a_2k+（2k）²=-4k²+3k-5，
则c_2k-1+c_2k=-2k-，
所以S_2k=（c₁+c₂）+（c₃+c₄）+…+（c_2k-1+c_2k）=-k²-
所以S_2k-1=S_2k-c_2k=（-k²-）-（-4k²+3k-5）=3k²-+5
故S_n=．
分析：（Ⅰ）将n=1，2分别代入[2+（-1）ⁿ⁺¹]a_n+[2+（-1）ⁿ]a_n+1=1+（-1）ⁿ•3n，即可求a₂，a₃的值；
（Ⅱ）在条件中，用2n代换n，用2n-1代换n，两式相减，可得b_n=4n-1，从而可得{b_n}是等差数列；
（Ⅲ）求得a_2k-1=a₁+（a₃-a₁）+…+（a_2k-1-a_2k-3）=（k-1）（2k-1）+2，a_2k=-6k²+3k-5，从而可得c_2k-1=-4k²-5k+，c_2k=-4k²+3k-5，则c_2k-1+c_2k=-2k-，进而可得结论．
点评：本题考查数列递推式，考查等差数列的证明，考查数列的求和，正确运用数列递推式是关键，综合性强，难度较大．