Question

某工厂要将一批产品用汽车从所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且运费由工厂承担．若工厂恰能在约定日期（×月×日）将产品送到，则销售商一次性支付给工厂2000元；若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给工厂100元；若在约定日期后送到，每迟到一天销售商将少支付给工厂100元．现规定汽车只能在约定日期的前两天出发，且只能选择其中的一条公路运送产品，现把汽车在一段时间内走公路1和公路2的运费编成如下茎叶图：
（Ⅰ）写出汽车走公路1和公路2运费的中位数；
（Ⅱ）根据下列信息，

统计信息 汽车行驶路线	不堵车的情况下到达城市乙所需时间（天）	堵车的情况下到达城市乙所需时间 （天）	堵车的概率
公路1	2	3	1 10
公路2	1	4	1 2

（注：毛利润=销售商支付给工厂的费用-运费）
求：①以运费的中位数为运费，记汽车走公路1时工厂获得的毛利润为ξ（单位：元），求ξ的分布列和数学期望Eξ；
②假设你是工厂的决策者，你选择哪条公路运送产品有可能让工厂获得的毛利润更多？

Answer 1

分析：（I）根据茎叶图，写出汽车走公路1、公路2的所有运费，再写出其中位数；
（II）①汽车走公路1时工厂获得的毛利润为ξ，ξ的可能取值是18.4，17.4，结合变量对应的事件，算出概率，写出分布列，做出期望．
②汽车走公路1时工厂获得的毛利润为ξ，ξ的可能取值是20.2，17.2，结合变量对应的事件，算出概率，写出分布列，做出期望，把两条公路的所获得毛利润的期望进行比较，得到公路2的毛利润期望大，得到结论．

解答：解：（Ⅰ）走公路1的运费为的156，158，160，162，164，故中位数为160；同理走公路2运费的中位数为80
（II）①汽车走公路1时，不堵车时工厂获得的毛利润ξ=20-1.6=18.4百元；
堵车时工厂获得的毛利润ξ=20-1.6-1=17.4百元；
∴汽车走公路1时工厂获得的毛利润ξ的分布列为

∴Eξ=18.4×

9

10

+17.4×

1

10

=18.3百元
②设汽车走公路2时工厂获得的毛利润为η，
不堵车时工厂获得的毛利润η=20-0.8+1=20.2百元；
堵车时工厂获得的毛利润η=20-0.8-2=17.2百元；
∴汽车走公路1时工厂获得的毛利润η的分布列为
∴
∴Eη=20.2×

1

2

+17.2×

1

2

=18.7百元
∵Eξ＜Eη∴选择公路2运送水果有可能让工厂获得的毛利润更多

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查比较两个变量的期望值，得到最优思路，是一个利用概率知识解决实际问题的题目，是一个综合题目