Question

【题目】已知函数f（x）=x2﹣2|x﹣a|．
（1）若函数y=f（x）为偶函数，求a的值；
（2）若a= ，求函数y=f（x）的单调递增区间；
（3）当a＞0时，若对任意的x∈（0，+∞），不等式f（x﹣1）≤2f（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：任取∈R，则有f（﹣x）=f（x）恒成立，即x2﹣2|﹣x﹣a|=x2﹣2|x﹣a|恒成立，

∴|x+a|=|x﹣a|恒成立，∴平方得2ax=﹣2ax恒成立，∴a=0

（2）解：当a= 时，f（x）=x2﹣2|x﹣a|= ，

由函数的图象可知，函数的单调递增区间为（﹣1， ]、[1，+∞）

（3）解：不等式式f（x﹣1）≤2f（x）化为（x﹣1）2﹣2|x﹣1﹣a|≤2x2﹣4|x﹣a|，

即：4|x﹣a|﹣2|x﹣1﹣a|≤x2+2x﹣1 （※），

对任意的x∈（0，+∞）恒成立，因为a＞0，所以分如下情况讨论：

①0≤x≤a时，不等式（※）化为﹣4（x﹣a）+2[x﹣（1+a）]≤x2+2x﹣1恒成立，

即x2+4x+1﹣2a≥0对x∈[0，a]恒成立，

∵g（x）=x2+4x+1﹣2a在[0，a]上单调递增，

只需g（x）的最小值g（0）=1﹣2a≥0，∴0＜a≤ ．

②当a＜x≤a+1时，不等式（※）化为 4（x﹣a）+2[x﹣（1+a）]≤x2+2x﹣1恒成立，

即 x2﹣4x+1+16a≥0对x∈（a，1+a]恒成立恒成立，

由①知0＜a＜ ，∴h（x）=x2﹣4x+1+16a在∈（a，1+a]上单调递减，

∴只需h（x）的最小值h（1+a）=a2+4a﹣2≥0，∴a≤﹣2﹣ 或a≥ ﹣2，

∵ ﹣2＜ ，∴ ﹣2≤a≤ ．

③当x＞a+1时，不等式（※）化为 4（x﹣a）﹣2[x﹣（1+a）]≤x2+2x﹣1恒成立，

即 x2+2a﹣3≥0 对x∈（a+1，+∞）恒成立．

由于m（x）=x2+2a﹣3≥0，且m（x）在[a+1，+∞）上单调递增，

∴只需m（x）的最小值m（1+a）=a2+4a﹣2≥0，∴a≤﹣2﹣ 或a≥ ﹣2，

由②得： ﹣2≤a≤ ．

综上所述，a的取值范围是： ﹣2≤a≤

【解析】（1）根据f（﹣x）=f（x）恒成立，求得a的值．（2）当a= 时，f（x）=x2﹣2|x﹣a|= ，结合它的图象得到函数的单调增区间．（3）不等式即4|x﹣a|﹣2|x﹣1﹣a|≤x2+2x﹣1 （※），分类讨论，去掉绝对值，求得它的解集．
【考点精析】通过灵活运用函数奇偶性的性质，掌握在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇即可以解答此题．