Question

已知函数f（x）=x²-4x+a+3，g（x）=mx+5-2m．
（Ⅰ）若y=f（x）在[-1，1]上存在零点，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a=0时，若对任意的x₁∈[1，4]，总存在x₂∈[1，4]，使f（x₁）=g（x₂）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）y=f（x）在[-1，1]上单调递减函数，要存在零点只需f（1）≤0，f（-1）≥0即可
（2）存在性问题，只需函数y=f（x）的值域为函数y=g（x）的值域的子集即可．

解答：解：（Ⅰ）：因为函数f（x）=x²-4x+a+3的对称轴是x=2，
所以f（x）在区间[-1，1]上是减函数，
因为函数在区间[-1，1]上存在零点，
则必有：

f(1)≤0 f(-1)≥0

即

a≤0 a+8≥0

，解得-8≤a≤0，
故所求实数a的取值范围为[-8，0]．
（Ⅱ）若对任意的x₁∈[1，4]，总存在x₂∈[1，4]，
使f（x₁）=g（x₂）成立，只需函数y=f（x）的值域为函数y=g（x）的值域的子集．
f（x）=x²-4x+3，x∈[1，4]的值域为[-1，3]，下求g（x）=mx+5-2m的值域．
①当m=0时，g（x）=5-2m为常数，不符合题意舍去；
②当m＞0时，g（x）的值域为[5-m，5+2m]，要使[-1，3]⊆[5-m，5+2m]，
需

5-m≤-1 5+2m≥3

，解得m≥6；
③当m＜0时，g（x）的值域为[5+2m，5-m]，要使[-1，3]⊆[5+2m，5-m]，
需

5+2m≤-1 5-m≥3

，解得m≤-3；
综上，m的取值范围为（-∞，-3]∪[6，+∞）．

点评：本题主要考查了函数的零点，值域与恒成立问题．