Question

15．某大型商厦一年内需要购进电脑5000台，每台电脑的价格为4000元，每次订购电脑的其它费用为1600元，年保管费用率为10%（例如，一年内平均库存量为150台，一年付出的保管费用60000元，则$\frac{60000}{150×4000}$=10%为年保管费用率），求每次订购多少台电脑，才能使订购电脑的其它费用及保管费用之和最小？

Answer 1

分析 设每次订购电脑的台数为x，由题意可得每年的保管费用为$\frac{1}{2}$x•4000•10%元，每年的订货电脑的其它费用为$\frac{5000}{x}$•1600元，则有每年的总费用为y=$\frac{5000}{x}$•1600+$\frac{1}{2}$x•4000•10%元．运用导数求得极小值点，也为最小值点，可得最小值．

解答 解：设每次订购电脑的台数为x，
则开始库存量为x台，经过一个周期的正常均匀销售后，库存量变为零，
这样又开始下一次的订购，因此平均库存量为$\frac{1}{2}$x台，
所以每年的保管费用为$\frac{1}{2}$x•4000•10%元，
而每年的订货电脑的其它费用为$\frac{5000}{x}$•1600元，
这样每年的总费用为$\frac{5000}{x}$•1600+$\frac{1}{2}$x•4000•10%元．
令y=$\frac{5000}{x}$•1600+$\frac{1}{2}$x•4000•10%，
y′=-$\frac{1}{{x}^{2}}$•5000•1600+$\frac{1}{2}$•4000•10%．
令y′=0，解得x=200（台）．
当x＞200时，y′＞0，当0＜x＜200时，y′＜0，
也就是当x=200台时，每年订购电脑的其它费用及保管费用总费用达到最小值，
最小值为80000元．

点评 本题考查函数的最值的求法，主要运用导数判断单调性进而得到最值，由题意得到函数的解析式是解题的关键．