Question

（2009•滨州一模）已知向量

a

=(-1，cosωx+

3

sinωx)， 

b

=(f(x)，cosωx)，其中ω＞0，且

a

⊥

b

，又f（x）的图象两相邻对称轴间距为

3

2

π．
（1）求ω的值；
（2）求函数f（x）在[-2π，2π]上的单调减区间．

Answer 1

分析：（1）由题意

a

•

b

=0，利用向量的数量积及辅助角公式可得f（x）=

1

2

+sin(2ωx+

π

6

)，由正弦函数的性质可求周期，由周期公式T=

2π

ω

结合ω＞0 可求ω
（2）由（Ⅰ）可得f(x)=

1

2

+sin(

2x

3

+

π

6

)，令2kπ+

1

2

π≤

2x

3

+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，可求f（x）的减区间

解答：解（1）由题意

a

•

b

=0
∴f（x）=cosωx（cosωx+

3

sinωx）
=

1+cos2ωx

2

+

3 sin2ωx

2

=

1

2

+sin(2ωx+

π

6

)
由f（x）的图象两相邻对称轴间距为

3

2

π可得

1

2

T=

3π

2

函数周期为T=3π，由周期公式可得T=

2π

2ω

=3π
ω=

1

3

（2）由（1）可知f(x)=

1

2

+sin(

2x

3

+

π

6

)
令2kπ+

1

2

π≤

2x

3

+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z
解得3kπ+

1

2

π≤x≤3kπ+2π，k∈Z
又x∈[-2π，2π]
∴f（x）的减区间是[-2π，-π]与[

1

2

π，2π]

点评：本题主要考查了三角好函数的正弦函数的性质，三角函数的辅助角公式，正弦函数的单调区间的求解，属于 三角函数性质的综合应用．