(Ⅰ)求证:AE⊥平面PCD;
(Ⅱ)求二面角A-PC-D的大小.
解法1 (Ⅰ)过P作PO⊥AD,垂足为O.
∵平面PAD⊥平面ABCD ∴PO⊥平面ABCD.
故∠PAO、∠PDO分别是PA、PD与底面ABCD所成的角,
即∠PAO=∠PDO=60°.∴PA=PD=AD.
∵PE=ED ∴AE⊥PD
又∵平面PAD⊥平面ABCD且CD⊥AD
∴CD⊥平面PAD. ∴CD⊥AE
∵CD∩PD=D ∴AE⊥平面PCD.
(Ⅱ)过E作EH⊥PC,垂足为H,连结HA.
∵AE⊥平面PCD ∴EH是AH在平面PCD内的射影
∴∠EHA为二面角A-PC-D的平面角.
令AD=1,则AE=,EH=
∴tan∠AHE= 则∠AHE=arctan
即二面角A-PC-D的大小为arctan
解法2 (Ⅰ)以AD的中点O为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
设AB=1,则A(,0,0),P(0,0,),
D(-,0,0),c(-,1,0),E(-,0,)
∴=(,0,),
=(-,0,),=(0,1,0),
∵·=()×(-)-×=0,
·=0 ∴⊥,⊥
又PD平面PDC、DC平面PDC,PD∩DC=D
∴AE⊥平面PCD.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知=(,0,)是平面PDC的法向量.
设平面PAC的法向量为n1=(x,y,z),
则n1⊥ n1⊥,即
,取x=1,可得y=1,z=.
所以,n1=(1,1,).
故向量与n1所成角θ的余弦值
cosθ=
又由图可知,二面角A-PC-D的平面角为锐角,所以二面角A-PC-D的平面角就是向量与n1所成角θ的补角.
即二面角A-PC-D的大小为arccos.
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科目:高中数学 来源:2010-2011学年山东省济宁一中高三(上)期末数学试卷(理科)(解析版) 题型:解答题
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