Question

【题目】已知椭圆的左焦点为，点为椭圆的左、右顶点，点是椭圆上一点，且直线的倾斜角为，，已知椭圆的离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设为椭圆上异于的两点，若直线的斜率等于直线斜率的倍，求四边形面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根据离心率可求得，利用椭圆定义和余弦定理可构造方程求得，进而确定，由此得到椭圆方程；

（2）设方程为，将直线与椭圆方程联立，可结合韦达定理求得点坐标，同理可得点坐标，由整理可得关于的函数的形式，利用对号函数可求得的最大值.

（1）椭圆的离心率，，

设椭圆右焦点为，连接，则，

在中，由余弦定理得：，

即，又 解得：，，，椭圆的方程为.

（2）由（1）知：，，

设直线斜率为，则直线方程为，

由得：，

则，

设，则，，，，

由可得直线方程为，

同理可求得：，

由对称性，不妨设，则四边形的面积：

，

令，则（当且仅当，即时取等号），

，的最大值为.