Question

17．设命题p：$\frac{m-2}{m-3}$≤$\frac{2}{3}$；命题 q：关于x的不等式x²-4x+m²≤0的解集是空集，若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 求出命题P与命题q分别成立时，m的范围，利用复合命题的真假，推出p，q有且只有一个为真．然后求解m的范围．

解答 解：由$\frac{m-2}{m-3}$≤$\frac{2}{3}$；得$\frac{m}{m-3}≤0$，∴0≤m＜3．
∴p：0≤m＜3．
由关于x的不等式x²-4x+m²≤0的解集是空集，得△=16-4m²＜0，
∴m＞2或m＜-2．
∴q：m＞2或m＜-2．
∵p∨q为真，p∧q为假，
∴p，q有且只有一个为真．
若p真，q假，则0≤m＜3且-2≤m≤2，∴0≤m≤2；
若p假，q真，则m＜0或m≥3，同时m＜-2或m＞2，
∴m＜-2或m≥3．
∴m的取值范围是（-∞，-2）∪[0，2]∪[3，+∞）．

点评 本题考查命题的真假的判断与应用，复合命题的真假的判断，考查转化思想以及计算能力．