【题目】已知函数,函数,其中实数.
(1)当时,对恒成立,求实数的取值范围;
(2)设,若不等式在上有解,求实数的取值范围.
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【题目】已知10件不同产品中有3件是次品,现对它们一一取出(不放回)进行检测,直至取出所有次品为止.
(1)若恰在第5次取到第一件次品,第10次才取到最后一件次品,则这样的不同测试方法数有多少?
(2)若恰在第6次取到最后一件次品,则这样的不同测试方法数是多少?
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【题目】某企业对现有设备进行了改造,为了了解设备改造后的效果,现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本,检测其质量指标值,若质量指标值在内,则该产品视为合格品,否则视为不合格品.图1是设备改造前的样本的频率分布直方图,表1是设备改造后的样本的频数分布表.
(1)完成列联表,并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关:
设备改造前 | 设备改造后 | 合计 | |
合格品 | |||
不合格品 | |||
合计 |
(2)根据图1和表1提供的数据,试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较;
(3)企业将不合格品全部销毁后,根据客户需求对合格品进行等级细分,质量指标值落在内的定为一等品,每件售价180元;质量指标值落在或内的定为二等品,每件售价150元;其他的合格品定为三等品,每件售价120元.根据频数分布表1的数据,用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有合格产品中抽到一件相应等级产品的概率.现有一名顾客随机购买两件产品,设其支付的费用为(单位:元),求的分布列和数学期望.
附:
0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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【题目】某小区停车场的收费标准为:每车每次停车时间不超过2小时免费,超过2小时的部分每小时收费1元(不足1小时的部分按1小时计算).现有甲乙两人相互独立到停车场停车(各停车一次),且两人停车的时间均不超过5小时,设甲、乙两人停车时间(小时)与取车概率如下表所示:
(1)求甲、乙两人所付车费相同的概率;
(2)设甲、乙两人所付停车费之和为随机变量,求的分布列及数学期望.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知点,的坐标分别为,.直线,相交于点,且它们的斜率之积是.记点的轨迹为.
(Ⅰ)求的方程.
(Ⅱ)已知直线,分别交直线于点,,轨迹在点处的切线与线段交于点,求的值.
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【题目】已知椭圆C的标准方程为:,该椭圆经过点P(1,),且离心率为.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)过椭圆长轴上一点S(1,0)作两条互相垂直的弦AB、CD.若弦AB、CD的中点分别为M、N,证明:直线MN恒过定点.
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