Question

8．关于x的函数f（x）=$\frac{{x}^{3}+t{x}^{2}+\sqrt{2}tsin（x+\frac{π}{4}）+2t}{{x}^{2}+2+cosx}$（t≠0）的最大值为m，最小值为n，且m+n=2017，则实数t的值为$\frac{2017}{2}$．

Answer 1

分析 函数f（x）可化为 t+$\frac{{x}^{3}+tsinx}{{x}^{2}+2+cosx}$，令g（x）=$\frac{{x}^{3}+tsinx}{{x}^{2}+2+cosx}$，则g（-x）=-g（x），设g（x）的最大值为M，最小值为N，则M+N=0，由f（x）的最大值和最小值，解方程即可得到t．

解答 解：f（x）=$\frac{{x}^{3}+t{x}^{2}+\sqrt{2}tsin（x+\frac{π}{4}）+2t}{{x}^{2}+2+cosx}$=$\frac{{x}^{3}+t{x}^{2}+\sqrt{2}t（\frac{\sqrt{2}}{2}sinx+\frac{\sqrt{2}}{2}cosx）+2t}{{x}^{2}+2+cosx}$
=$\frac{{x}^{3}+tsinx+t（{x}^{2}+cosx+2）}{{x}^{2}+2+cosx}$=t+$\frac{{x}^{3}+tsinx}{{x}^{2}+2+cosx}$，
令g（x）=$\frac{{x}^{3}+tsinx}{{x}^{2}+2+cosx}$，则g（-x）=$\frac{-{x}^{3}-tsinx}{{x}^{2}+2+cos（-x）}$=-g（x），
则g（x）为奇函数，
设g（x）的最大值为M，最小值为N，
则M+N=0，
即有t+M=m，t+N=n，
a+b=2t+m+n=2t=2017，
解得t=$\frac{2017}{2}$．
故答案为：$\frac{2017}{2}$．

点评 本题考查函数的奇偶性及运用，考查三角函数的诱导公式和运算能力，属于中档题．