【题目】已知椭圆Γ: +
=1(a>b>0)的离心率与双曲线x2﹣y2=a2的离心率之和为
,B1、B2为椭圆Γ短轴的两个端点,P是椭圆Γ上一动点(不与B1、B2重合),直线B1P、B2P分别交直线l:y=4于M、N两点,△B1B2P的面积记为S1 , △PMN的面积记为S2 , 且S1的最大值为4
.
(1)求椭圆Γ的方程;
(2)若S2=λS1 , 当λ取最小值时,求点P的坐标.
【答案】
(1)
解:双曲线的离心率为 ,∴椭圆的离心率为
,
∴ ,解得a=2
,b=2,
∴椭圆方程为 .
(2)
解:)设P(2 cosα,2sinα)(0≤α<2π且α
,α≠
),B1(0,2),B(0,﹣2),
则直线B1P的方程为y= x+2,直线B2P的方程为y=
x﹣2,
∴M( ,4),N(
,4),
|MN|=| ﹣
|=|
|,
∴S2= ×|MN|×(4﹣2sinα)=
,又S1=
=4
|cosα|,
∴λ= =
=(
)2,
令f(α)= ,则f′(α)=
,
令f′(α)=0得α= 或α=
,
当0 时,f′(α)<0,当
时,f′(α)>0,当
时,f′(α)>0,
当 时,f′(α)<0,当
时,f′(α)<0,
∴f(α)在[0, ]上单调递减,在(
,
)上单调递增,在(
,
]上单调递增,在(
,
)上单调递减,在(
,2π)上单调递减,
∴当 时,f(α)取得极小值f(
)=
=
,当α=
时,f(α)取得极大值f(
)=
=﹣
,
∴当α= 或
时,|f(α)|取得最小值
,
∴λ=f2(α)的最小值为 .
∴当λ取得最小值时,P点坐标为( ,1)或(﹣
,1).
【解析】(1)根据椭圆的离心率,S1的面积列方程组,解出a,b即可得出椭圆方程;(2)设P(2 cosα,2sinα),分别求出直线方程,得出M,N的坐标,用α表示出S1 , S2 , 从而得到λ关于α的函数,利用导数判断此函数的单调性,得出λ的最小值及其对应的α,从而得出P点坐标.
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【题目】将函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,﹣ <φ<
)图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再向右平移
个单位长度得到y=cosx的图象,则函数f(x)的单调递增区间为( )
A.[kπ﹣ ,kπ+
](k∈Z)
B.[kπ﹣ ,kπ﹣
](k∈Z)
C.[4kπ﹣ ,kπ﹣
](k∈Z)
D.[4kπ﹣ ,kπ+
](k∈Z)
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【题目】如图,椭圆C1: =1(a>b>0)的离心率为
,x轴被曲线C2:y=x2﹣b截得的线段长等于C1的长半轴长.
(Ⅰ)求C1 , C2的方程;
(Ⅱ)设C2与y轴的交点为M,过坐标原点O的直线l与C2相交于点A、B,直线MA,MB分别与C1相交于D,E.
(i)证明:MD⊥ME;
(ii)记△MAB,△MDE的面积分别是S1 , S2 . 问:是否存在直线l,使得 =
?请说明理由.
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【题目】已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)=2g(x)+ ,若f(
)+f(cos2θ)<f(π)﹣f(
),则θ的取值范围是( )
A.(2kπ+ ,2kπ+
),k∈Z
B.(2kπ﹣ ,2kπ)∪(2kπ,2kπ+π)∪(2kπ+π,2kπ+
π),k∈Z
C.(2kπ﹣ ,2kπ﹣
),k∈Z
D.(2kπ﹣ ,2kπ﹣π)∪(2kπ﹣π,2kπ)∪(2kπ,2kπ+
),k∈Z
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【题目】在海岸处发现北偏东
方向,距
处
海里的
处有一艘走私船.在
处北偏西
方向,距
处
海里的
处的我方缉私船奉命以
海里
小时的速度追截走私船,此时走私船正以
海里
小时的速度从
处向北偏东
方向逃窜.问:缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间.
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【题目】在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C:ρsin2θ=2acosθ(a>0),l: (t为参数)
(1)求曲线C的普通方程,l的直角坐标方程
(2)设l与C交于M,N两点,点P(﹣2,0),若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求实数a的值.
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【题目】在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(2c﹣a)cosB﹣bcosA=0.
(Ⅰ)求角B的大小;
(Ⅱ)求 sinA+sin(C﹣
)的取值范围.
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【题目】在极坐标系中,圆C的方程为ρ=4cosθ,以极点为坐标原点,极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系,直线l经过点M(5,6),且斜率为 .
(1)求圆 C的平面直角坐标方程和直线l的参数方程;
(2)若直线l与圆C交于A,B两点,求|MA|+|MB|的值.
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