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【题目】扬州某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形,腰与底边成角为(如图),考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其横断面要求面积为平方米,且高度不低于米.记防洪堤横断面的腰长为(米),外周长(梯形的上底线段与两腰长的和)为(米).

关于的函数关系式,并指出其定义域;

要使防洪堤横断面的外周长不超过米,则其腰长应在什么范围内?

当防洪堤的腰长为多少米时,堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即断面的外周长最小)?求此时外周长的值.

【答案】1;(2;(3)外周长的最小值为米,此时腰长为.

【解析】

试题(1)将梯形高、上底和下底用表示,根据梯形面积的计算得到的等式,从而解出,使问题得以解答,但不要忘记根据题目条件确定函数的定义域;(2)由(1)可得,解这个不等式的同时不要忽略了函数的定义域就可得到结果;(3)即求(1)中函数的最小值,可以用导数判断函数的单调性后再求解,也可利用基本不等式求最小值.

试题解析:,其中

,得, 由,得

6

腰长的范围是10

,当并且仅当,即时等号成立.

外周长的最小值为米,此时腰长为米. 16

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