Question

5．设f₀（x）=sinx，f₁（x）=f′₀（x），f₂（x）=f′₁（x），…，f_n+1（x）=f′_n（x），n∈N，则f₂₀₁₆（x）=sinx．

Answer 1

分析 由题意对函数的变化规律进行探究，发现呈周期性的变化，且其周期是4，故只须研究清楚f₂₀₁₆（x）是一个周期中的第几个函数即可得出其解析式．

解答 解：由题意f₀（x）=sinx，f₁（x）=f₀′（x）=cosx，f₂（x）=f₁′（x）=-sinx，f₃（x）=f₂′（x）=-cosx，f₄（x）=f₃′（x）=sinx，
由此可知，在逐次求导的过程中，所得的函数呈周期性变化，从1开始计，周期是4，
∵2016=4×504，f₂₀₁₀（x）是一周中的四个函数，故f₂₀₁₆（x）=sinx
故答案为：sinx

点评 本题考查函数的周期性，探究过程中用的是归纳推理，对其前几项进行研究得出规律，求解本题的关键一是要归纳推理的意识，一是对正、余弦函数的导数求法公式熟练掌握．本题易因为判断不准f₂₀₁₆（x）一周期中的第几个数而导致错误，要谨慎．