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5.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,AD⊥DC,平面PAD⊥底面ABCD,Q为AD的中点,M是棱PC的中点,PA=PD=2,BC=$\frac{1}{2}$AD=1,CD=$\sqrt{3}$.
(Ⅰ)求证:PQ⊥AB;
(Ⅱ)求二面角P-QB-M的余弦值.

分析 (Ⅰ)根据线面垂直的性质定理证明PQ⊥底面ABCD即可证明PQ⊥AB;
(Ⅱ)建立空间坐标系,求出平面的法向量,利用向量法即可求二面角P-QB-M的余弦值.

解答 (I)证明:在△PAD中,PA=PD,
∵Q为AD中点.∴PQ⊥AD                             
∵平面PAD⊥底面ABCD,且平面PAD∩底面ABCD=AD,
∴PQ⊥底面ABCD,
又AB?平面ABCD,
∴PQ⊥AB;
(II)在直角梯形ABCD中,AD∥BC,BC=$\frac{1}{2}$AD,
∵Q为AD中点,BC=QD,BC⊥QD
∴四边形BCDQ为平行四边形,
∵AD⊥DC      
∴AD⊥QB,
由(I)可知PQ⊥平面ABCD,
∴,以Q为坐标原点,建立空间直角坐标系,Q-xyz如图.
则Q(0,0,0),A(1,0,0),$P(0,0,\sqrt{3})$,$B(0,\sqrt{3},0)$,C(-1,$\sqrt{3}$,0)D(-1,0,0)
∵M是PC中点,∴$M(-\frac{1}{2},\frac{{\sqrt{3}}}{2},\frac{{\sqrt{3}}}{2})$,
又$\overrightarrow{QB}=(0,\sqrt{3},0)$,
设平面MBQ的法向量为$\overrightarrow{m}$=(x,y,z),
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{QB}=\sqrt{3}y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{QM}=-\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}y+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\end{array}\right.$,
令z=1得x=$\sqrt{3}$,y=0,
则$\overrightarrow{m}$=($\sqrt{3}$,0,1),
则cos<$\overrightarrow{QA}$,$\overrightarrow{m}$>$\frac{\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{QA}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
由题知,二面角P-QB-M为锐角所以二面角P-QB-M的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$.

点评 本题主要考查线面垂直的性质定理的应用以及二面角的计算,建立空间坐标系,求出平面的法向量,利用向量法是解二面角的平面角的常用方法,综合性较强,运算较大,有一定的难度.

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