Question

圆C1：x2+y2+4ax+4a2-4=0和圆C2：x2+y2-2by+b2-1=0相内切，若a，b∈R，且ab≠0，则

1

a2

+

1

b2

的最小值为

9

．

Answer 1

分析：由题意，圆C₁与圆C₂的圆心距等于它们半径差的绝对值，求出两圆的圆心C₁、C₂的坐标和它们的半径，利用两点间的距离公式化简等式|C₁C₂|=1，得4a²+b²=1．再利用基本不等式加以计算，可得当a²=

1

6

、b²=

1

3

时，

1

a2

+

1

b2

的最小值等于9．

解答：解：圆C1：x2+y2+4ax+4a2-4=0的圆心为C₁（-2a，0），半径r₁=2．
圆C2：x2+y2-2by+b2-1=0的圆心为C₂（0，b），半径r₂=2．
∵圆C₁与圆C₂相内切，
∴|C₁C₂|=|r₂-r₁|=1，即

(-2a-0)2+(0-b)2

=1，化简得4a²+b²=1．
因此，

1

a2

+

1

b2

=（4a²+b²）（

1

a2

+

1

b2

）=5+（

b2

a2

+

4a2

b2

），
∵

b2

a2

+

4a2

b2

≥2

b2 a2 • 4a2 b2

=4，∴

1

a2

+

1

b2

≥5+4=9，
可得：当且仅当

b2

a2

=

4a2

b2

时，即a²=

1

6

且b²=

1

3

时，

1

a2

+

1

b2

的最小值等于9
故答案为：9

点评：本题给出含有参数a、b的两圆相内切，求

1

a2

+

1

b2

的最小值．着重考查了圆的标准方程、圆与圆的位置关系和用基本不等式求最值等知识，属于中档题．